1.1 Gründe für die Notwendigkeit der Datenreduktion

• Im technischen Sinne der Dimensionsreduktion können wir statt Variablen-Sets die Faktor-/ Komponentenwerte verwenden (z. B. für Mittelwertvergleiche zwischen Experimental- und Kontrollgruppe, Regressionsanalyse und Clusteranalyse).
• Wir können Unsicherheit verringern. Wenn wir glauben, dass ein Konstrukt nicht eindeutig messbar ist, dann kann mit einem Variablen-Set die Unsicherheit reduziert werden.
• Wir können den Aufwand bei der Datenerfassung vereinfachen, indem wir uns auf Variablen konzentrieren, von denen bekannt ist, dass sie einen hohen Beitrag zum interessierenden Faktor/ Komponente leisten. Wenn wir feststellen, dass einige Variablen für einen Faktor nicht wichtig sind, können wir sie aus dem Datensatz eliminieren.

1.2 Benötigte Pakete

Pakete, die für diese Datenanalyse benötigt werden, müssen vorher einmalig in R installiert werden.

# install.packages("corrplot")
# install.packages("gplots")
# install.packages("nFactors")

6.1 Bestimmung der Anzahl der Hauptkomponenten

Betrachten wir in einem ersten Schritt die wichtigsten Komponenten für die Werte. Wir finden die Komponenten mit prcomp().

Werte.pc<- prcomp(Werte.sc)
summary(Werte.pc)

## Importance of components:
##                           PC1    PC2    PC3     PC4     PC5     PC6    PC7
## Standard deviation     1.6907 1.5422 1.3841 1.14283 1.07975 0.88552 0.8298
## Proportion of Variance 0.1906 0.1585 0.1277 0.08707 0.07772 0.05228 0.0459
## Cumulative Proportion  0.1906 0.3491 0.4768 0.56391 0.64163 0.69391 0.7398
##                            PC8     PC9   PC10    PC11    PC12    PC13    PC14
## Standard deviation     0.80784 0.78821 0.7599 0.74135 0.68836 0.64775 0.64487
## Proportion of Variance 0.04351 0.04142 0.0385 0.03664 0.03159 0.02797 0.02772
## Cumulative Proportion  0.78332 0.82474 0.8632 0.89988 0.93147 0.95944 0.98716
##                           PC15
## Standard deviation     0.43884
## Proportion of Variance 0.01284
## Cumulative Proportion  1.00000

# Berechnung der Gesamtvarianz
Gesamtvarianz <- sum(Werte.pc$sdev^2)

# Bei sum(Werte.pc$sdev^2) wird die Summe aller 15 Standardabweichungen berechnet.

# Varianzanteil der ersten Hauptkomponente
Werte.pc$sdev[1]^2/Gesamtvarianz

## [1] 0.1905689

6.2 Scree-Plot

Der Standard-Plot plot() für die PCA ist ein Scree-Plot, Dieser zeigt uns in Reihenfolge der Hauptkomponenten jeweils die durch diese Hauptkomponente erfasste Streuung (Varianz). Wir plotten ein Liniendiagramm mit dem Argument type = "l" (l für Linie):

plot(Werte.pc, type="l")

Wir sehen anhand des Scree-Plots, dass bei den Werte-Daten der Anteil der Streuung nach der fünften Komponente nicht mehr wesentlich abnimmt. Es soll die Stelle gefunden werden, ab der die Varianzen der Hauptkomponenten deutlich kleiner sind. Je kleiner die Varianzen, desto weniger Streuung erklärt diese Hauptkomponente.

6.3 Elbow-Kriterium

Nach diesem Kriterium werden alle Hauptkomponenten berücksichtigt, die links von der Knickstelle im Scree-Plot liegen. Gibt es mehrere Knicks, dann werden jene Hauptkomponenten ausgewählt, die links vom rechtesten Knick liegen. Gibt es keinen Knick, dann hilft der Scree-Plot nicht weiter. Bei den Werte-Daten tritt der Ellbogen, je nach Betrachtungsweise, entweder bei vier oder sechs Komponenten auf. Dies deutet darauf hin, dass die ersten fünf Komponenten die meiste Streuung in den Werte-Daten erklären.

6.4 Eigenwert-Kriterium

Der Eigenwert ist eine Metrik für den Anteil der erklärten Varianz. Die Anzahl Eigenwerte können wir über den Befehl eigen() ausgeben.

eigen(cor(Werte))

## eigen() decomposition
## $values
##  [1] 2.8585328 2.3782591 1.9157861 1.3060498 1.1658554 0.7841482 0.6885614
##  [8] 0.6525990 0.6212712 0.5774799 0.5495986 0.4738398 0.4195816 0.4158557
## [15] 0.1925814
## 
## $vectors
##              [,1]        [,2]         [,3]        [,4]        [,5]        [,6]
##  [1,] -0.33604416 -0.25622090  0.128161949 -0.25708630 -0.31686659 -0.08891916
##  [2,] -0.33938849 -0.28521782  0.081849344 -0.15917643 -0.27168790  0.07516516
##  [3,] -0.26388043 -0.31660619 -0.020871466 -0.35409613 -0.16300892  0.01525403
##  [4,] -0.08232717 -0.33393447 -0.511129387  0.06869099  0.27375878 -0.08815771
##  [5,] -0.08708864 -0.34714315 -0.474128588  0.07565331  0.34831269 -0.04338889
##  [6,] -0.05342944  0.30307543 -0.218554329 -0.38300203  0.21851873  0.29935020
##  [7,] -0.23623640  0.21437522 -0.256385690 -0.31711196 -0.08949205 -0.11693492
##  [8,] -0.15397729  0.32691967 -0.171467677 -0.34482751  0.14055059  0.14106740
##  [9,] -0.27464246  0.33825802 -0.234044155  0.19355770 -0.14567446 -0.26810114
## [10,] -0.30435792  0.21717193 -0.166429441  0.32257765 -0.24460149 -0.43448121
## [11,] -0.27346924  0.23434490 -0.116388405  0.27914986 -0.16754023  0.54633532
## [12,] -0.29540078 -0.17177961  0.006053197  0.40251719 -0.00239680  0.49131083
## [13,] -0.31100983  0.05553932  0.338064762 -0.08652082  0.35043217  0.02771788
## [14,] -0.27757710  0.14689404  0.248735075  0.03424423  0.39595561 -0.16611769
## [15,] -0.31880702 -0.07337078  0.274358131  0.12830750  0.37245140 -0.15648663
##              [,7]         [,8]        [,9]        [,10]       [,11]       [,12]
##  [1,]  0.01202132 -0.041248709 -0.01408612  0.130206897  0.31009355 -0.02696768
##  [2,]  0.26627419 -0.135852146 -0.08580310 -0.157042163  0.38217601 -0.24114988
##  [3,]  0.10078342 -0.003367682  0.15291415  0.074930194 -0.73005040  0.30268343
##  [4,]  0.01520430 -0.055026932 -0.07919406  0.108873884  0.07015185 -0.07370359
##  [5,]  0.05838507  0.038565529 -0.06111274  0.096609791  0.02274680 -0.09446330
##  [6,]  0.46059789  0.328175909  0.38723990 -0.195176261  0.19617221  0.12114616
##  [7,] -0.53964197  0.422986131 -0.37907293 -0.148699391  0.10393977  0.19427884
##  [8,] -0.28547974 -0.709911656  0.08261177 -0.024519209 -0.04440720 -0.17554504
##  [9,]  0.13054104 -0.123139927  0.16569043 -0.004325198 -0.11465862 -0.16313432
## [10,]  0.11076199  0.115161722  0.20479717 -0.084083249 -0.06376440 -0.03363296
## [11,]  0.10897837  0.020664210 -0.24850940  0.584651315  0.01333556  0.17246152
## [12,] -0.25152458  0.024186081  0.11560439 -0.599990338 -0.11045917 -0.02350423
## [13,] -0.11763325  0.352104105  0.05618006  0.237563841 -0.20176120 -0.64134659
## [14,]  0.39099628 -0.156832775 -0.58303462 -0.256953030 -0.10337042  0.21220308
## [15,] -0.24316239 -0.081935458  0.41348810  0.198545304  0.29517385  0.48735507
##              [,13]        [,14]        [,15]
##  [1,]  0.676083103  0.239639453 -0.014012424
##  [2,] -0.556270220 -0.237090974 -0.026889620
##  [3,] -0.103662222 -0.052357923  0.016105582
##  [4,]  0.007483174  0.050894991  0.706143396
##  [5,]  0.050783912  0.009339351 -0.698648864
##  [6,]  0.074648018  0.069167377  0.045368717
##  [7,] -0.107839123 -0.117816660 -0.016220508
##  [8,] -0.064457279  0.220164114 -0.056024044
##  [9,]  0.283295448 -0.667112771  0.008995238
## [10,] -0.240797718  0.583661212 -0.038214621
## [11,] -0.061627837  0.051558150 -0.004438732
## [12,]  0.167934268  0.027612969  0.029341249
## [13,] -0.026203185  0.030445815  0.061558203
## [14,]  0.101912203  0.063464930  0.019925600
## [15,] -0.132005347 -0.140461650 -0.002008972

Der Eigenwert einer Komponente/ eines Faktors sagt aus, wie viel Varianz dieser Faktor an der Gesamtvarianz aufklärt. Laut dem Eigenwert-Kriterium sollen nur Faktoren mit einem Eigenwert größer 1 extrahiert werden. Dies sind bei den Werte-Daten fünf Komponenten/ Faktoren, da fünf Eigenwerte größer 1 sind. Der Grund ist, dass Komponenten/ Faktoren mit einem Eigenwert kleiner als 1 weniger Erklärungswert haben als die ursprünglichen Variablen.

Dies kann auch grafisch mit dem VSS.Scree geplotet werden.

library(psych)
VSS.scree(Werte)

6.5 Biplot

Eine gute Möglichkeit die Ergebnisse der PCA zu analysieren, besteht darin, die ersten Komponenten zuzuordnen, die es uns ermöglichen, die Daten in einem niedrigdimensionalen Raum zu visualisieren. Eine gemeinsame Visualisierung ist ein Biplot. Dies ist ein zweidimensionales Diagramm von Datenpunkten in Bezug auf die ersten beiden Hauptkomponenten, die mit einer Projektion der Variablen auf die Komponenten überlagert wird.

Dazu verwenden wir biplot():

biplot(Werte.pc)

Die Variablen-Gruppierungen sind als rote Ladungspfeile sichtbar. Zusätzlich erhalten wir einen Einblick in die Bewertungscluster (als dichte Bereiche von Beobachtungspunkten). Der Biplot ist hier durch die große Anzahl an Beobachtung recht unübersichtlich.

Am einfachsten lassen sich die Komponenten extrahieren mit dem principal-Befehl aus dem psych-Paket (ist durch das Paket nFactors bereits geladen)

Werte.pca<-principal(Werte, nfactors=5)
print(Werte.pca, cut=0.4, sort = TRUE, digits=2)

## Principal Components Analysis
## Call: principal(r = Werte, nfactors = 5)
## Standardized loadings (pattern matrix) based upon correlation matrix
##                    item   RC1   RC2   RC3   RC5   RC4   h2   u2 com
## Spaß                  1  0.83                         0.71 0.29 1.1
## Freude                2  0.78                         0.65 0.35 1.2
## Aufregung             3  0.76                         0.63 0.37 1.2
## Sicherheit           10        0.79                   0.64 0.36 1.0
## Gefahrenvermeidung    9        0.75                   0.67 0.33 1.3
## Ordentlichkeit       11        0.70                   0.50 0.50 1.1
## Unabhängigkeit       12        0.42                   0.53 0.47 4.2
## Entscheidung          5              0.94             0.89 0.11 1.0
## Führung               4              0.92             0.88 0.12 1.1
## Zuhören              13                    0.77       0.66 0.34 1.2
## Interesse            15                    0.76       0.63 0.37 1.2
## Umweltbewusstsein    14                    0.73       0.57 0.43 1.2
## Religiösität          6                          0.74 0.57 0.43 1.1
## Demut                 8                          0.72 0.56 0.44 1.2
## Respekt               7                          0.62 0.54 0.46 1.8
## 
##                        RC1  RC2  RC3  RC5  RC4
## SS loadings           2.08 2.02 1.89 1.87 1.76
## Proportion Var        0.14 0.13 0.13 0.12 0.12
## Cumulative Var        0.14 0.27 0.40 0.52 0.64
## Proportion Explained  0.22 0.21 0.20 0.19 0.18
## Cumulative Proportion 0.22 0.43 0.62 0.82 1.00
## 
## Mean item complexity =  1.4
## Test of the hypothesis that 5 components are sufficient.
## 
## The root mean square of the residuals (RMSR) is  0.07 
##  with the empirical chi square  1037.66  with prob <  1.6e-191 
## 
## Fit based upon off diagonal values = 0.88

6.6 Interpretation der Ergebnisse der PCA

• Das Ergebnis sieht sehr gut aus. Es laden immer mehrere Items (mindestens 2) hoch (> 0,5) auf einer Komponente (die mit RC1 bis RC5 bezeichnet werden, RC steht für Rotated Component). Innerhalb einer PCA kann die Interpretierbarkeit über eine Rotation erhöht werden. Wenn die Rotation nicht ausgeschlossen wird (mit dem Argument rotate="none"), dann ist die Voreinstellung eine Varimax-Rotation.
  
• Es gibt keine Items die auf mehr als einer Komponente hoch laden. Die Ladungen sind Korrelationskoeffizienten zwischen den Items und den Hauptkomponenten. * In der Zeile SS loadings finden wir die Eigenwerte der fünf Hauptkomponenten. Den Anteil an der Gesamtvarianz, den sie erklären, findet man in der Zeile Proportion Var. Aufsummiert sind die Anteile in der Zeile Cumlative Var. Insgesamt werden durch die fünf Hauptkomponenten 64% der Gesamtvarianz erklärt.
• Einzig das Item W15 lädt auf keine der Hauptkomponenten hoch.

Um die inhaltliche Bedeutung der Komponenten zu interpretieren, schauen wir uns die Inhalte der jeweiligen Items an und versuchen hierfür einen inhaltlichen Gesamtbegriff zu finden. Die Erste Komponenten könnte mit Genuss, die zweite mit Sicherheit, die dritte mit Bewusstsein, die vierte mit Konformismus und die fünfte mit Anerkennung bezeichnet werden.

Mit der Fubnktion fa.diagram kann das Ergebnis auch grafisch dargestellt werden.

fa.diagram(Werte.pca)

7.1 Finden einer EFA Lösung

Als erstes muss die Anzahl der zu schätzenden Faktoren bestimmt werden. Hierzu verwenden wir wieder das Ellbow-Kriterium und das Eigenwert-Kriterium. Beide Kriterien haben wir schon bei der PCA verwendet, dabei kommen wir auf 5 Faktoren.

Durch das Paket nFactors bekommen wir eine formalisierte Berechnung der Scree-Plot Lösung mit dem Befehl nScree()

library(nFactors)

## Lade nötiges Paket: lattice

## 
## Attache Paket: 'nFactors'

## Das folgende Objekt ist maskiert 'package:lattice':
## 
##     parallel

nScree(Werte)

##   noc naf nparallel nkaiser
## 1   5   3         5       5

nScree gibt vier methodische Schätzungen für die Anzahl an Faktoren durch den Scree-Plot aus. Wir sehen, dass drei von vier Methoden fünf Faktoren vorschlagen.

7.2 Schätzung der EFA

Eine EFA wird geschätzt mit dem Befehl factanal(x,factors=k), wobei k die Anzahl Faktoren angibt.

Werte.fa<-factanal(Werte, factors=5)
Werte.fa

## 
## Call:
## factanal(x = Werte, factors = 5)
## 
## Uniquenesses:
##               Spaß             Freude          Aufregung            Führung 
##              0.401              0.486              0.584              0.243 
##       Entscheidung       Religiösität            Respekt              Demut 
##              0.139              0.660              0.662              0.626 
## Gefahrenvermeidung         Sicherheit     Ordentlichkeit     Unabhängigkeit 
##              0.395              0.481              0.729              0.713 
##            Zuhören  Umweltbewusstsein          Interesse 
##              0.463              0.666              0.561 
## 
## Loadings:
##                    Factor1 Factor2 Factor3 Factor4 Factor5
## Spaß                        0.756           0.147         
## Freude                      0.686           0.149         
## Aufregung           0.172   0.611                         
## Führung             0.849   0.131          -0.133         
## Entscheidung        0.921                                 
## Religiösität               -0.123                   0.568 
## Respekt                     0.154   0.266           0.492 
## Demut                               0.168           0.580 
## Gefahrenvermeidung                  0.715           0.298 
## Sicherheit                          0.710                 
## Ordentlichkeit                      0.483   0.132   0.137 
## Unabhängigkeit      0.188   0.230   0.268   0.265  -0.240 
## Zuhören            -0.114   0.158           0.698   0.106 
## Umweltbewusstsein                   0.149   0.539   0.111 
## Interesse                   0.181           0.618  -0.109 
## 
##                Factor1 Factor2 Factor3 Factor4 Factor5
## SS loadings      1.668   1.600   1.473   1.332   1.116
## Proportion Var   0.111   0.107   0.098   0.089   0.074
## Cumulative Var   0.111   0.218   0.316   0.405   0.479
## 
## Test of the hypothesis that 5 factors are sufficient.
## The chi square statistic is 93.28 on 40 degrees of freedom.
## The p-value is 3.83e-06

Eine übersichtlichere Ausgabe bekommen wir mit dem print Befehl, in dem wir zusätzlich noch die Dezimalstellen kürzen mit digits=2, alle Ladungen kleiner als 0,5 ausblenden mit cutoff=.4 und die Ladungen mit sort=TRUE so sortieren, dass die Ladungen, die auf einen Faktor laden, untereinander stehen.

print(Werte.fa, digits=2, cutoff=.4, sort=TRUE)

## 
## Call:
## factanal(x = Werte, factors = 5)
## 
## Uniquenesses:
##               Spaß             Freude          Aufregung            Führung 
##               0.40               0.49               0.58               0.24 
##       Entscheidung       Religiösität            Respekt              Demut 
##               0.14               0.66               0.66               0.63 
## Gefahrenvermeidung         Sicherheit     Ordentlichkeit     Unabhängigkeit 
##               0.39               0.48               0.73               0.71 
##            Zuhören  Umweltbewusstsein          Interesse 
##               0.46               0.67               0.56 
## 
## Loadings:
##                    Factor1 Factor2 Factor3 Factor4 Factor5
## Führung             0.85                                  
## Entscheidung        0.92                                  
## Spaß                        0.76                          
## Freude                      0.69                          
## Aufregung                   0.61                          
## Gefahrenvermeidung                  0.72                  
## Sicherheit                          0.71                  
## Zuhören                                     0.70          
## Umweltbewusstsein                           0.54          
## Interesse                                   0.62          
## Religiösität                                        0.57  
## Demut                                               0.58  
## Respekt                                             0.49  
## Ordentlichkeit                      0.48                  
## Unabhängigkeit                                            
## 
##                Factor1 Factor2 Factor3 Factor4 Factor5
## SS loadings       1.67    1.60    1.47    1.33    1.12
## Proportion Var    0.11    0.11    0.10    0.09    0.07
## Cumulative Var    0.11    0.22    0.32    0.40    0.48
## 
## Test of the hypothesis that 5 factors are sufficient.
## The chi square statistic is 93.28 on 40 degrees of freedom.
## The p-value is 3.83e-06

Standardmäßig wird bei factanal() eine Varimax-Rotation durchgeführt (das Koordinatensystem der Faktoren wird so rotiert, das eine optimale Zuordnung zu den Variablen erfolgt). Bei Varimax gibt es keine Korrelationen zwischen den Faktoren. Sollen Korrelationen zwischen den Faktoren zugelassen werden, empfiehlt sich die Oblimin-Rotation mit dem Argument rotation="oblimin" aus dem Paket GPArotation.

7.3 Heatmap mit Ladungen

In der obigen Ausgabe werden die Item-to-Faktor-Ladungen angezeigt. Im zurückgegebenen Objekt Werte.fa sind diese als $loadings vorhanden. Wir können die Item-Faktor-Beziehungen mit einer Heatmap von $loadings visualisieren:

library (gplots)

## 
## Attache Paket: 'gplots'

## Das folgende Objekt ist maskiert 'package:stats':
## 
##     lowess

heatmap.2(Werte.fa$loadings)

Das Ergebnis aus der Heatmap zeigt eine deutliche Trennung der Items in 5 Faktoren, die interpretierbar sind als Anerkennung, Genuss, Sicherheit, Bewusstsein und Konformismus.

7.4 Berechnung der Faktor-Scores

Zusätzlich zur Schätzung der Faktorstruktur kann die EFA auch die latenten Faktorwerte für jede Beobachtung schätzen. Die gängige Extraktionsmethode ist die Bartlett-Methode.

Werte.ob <- factanal(Werte, factors=5, scores="Bartlett")
Werte.scores <- data.frame(Werte.ob$scores)
names(Werte.scores) <- c("Anerkennung", "Genuss", "Sicherheit", "Bewusstsein", "Konformismus") 
head(Werte.scores)

##   Anerkennung     Genuss Sicherheit Bewusstsein Konformismus
## 1   1.3800613  0.9847458  0.5632629   0.1731918   -0.1062450
## 2  -1.4035495 -0.7210411  1.5965857   1.1664029    0.6950300
## 3   1.5320158 -0.6574901  1.6721041  -2.0027410    0.2390436
## 4  -0.5790217  2.3443732 -1.0564093  -1.1195018   -0.1176405
## 5   0.2344081 -1.6524010  1.1888042  -1.7013443    0.4374048
## 6  -0.1303264  0.1110535 -1.0532476   0.7911486   -1.0034994

Wir haben nun anstatt der 15 Variablen 5 Faktoren mit Scores. Die Dimensionen wurden um ein Drittel reduziert.

7.5 Interne Konsistenz der Skalen

Das einfachste Maß für die interne Konsistenz ist die Split-Half-Reliabilität. Die Items werden in zwei Hälften unterteilt und die resultierenden Scores sollten in ihren Kenngrößen ähnlich sein. Hohe Korrelationen zwischen den Hälften deuten auf eine hohe interne Konsistenz hin. Das Problem ist, dass die Ergebnisse davon abhängen, wie die Items aufgeteilt werden. Ein üblicher Ansatz zur Lösung dieses Problems besteht darin, den Koeffizienten Alpha (Cronbachs Alpha) zu verwenden.

Der Koeffizient Alpha ist der Mittelwert aller möglichen Split-Half-Koeffizienten, die sich aus verschiedenen Arten der Aufteilung der Items ergeben. Dieser Koeffizient variiert von 0 bis 1. Formal ist es ein korrigierter durchschnittlicher Korrelationskoeffizient.

Faustregeln für die Bewertung von Cronbachs Alpha:

Wir bewerten nun die interne Konsistent der Items Beispielhaft für das Konstrukt Sicherheit und nehmen zur Demonstration das Item W15 mit in die Analyse auf.

alpha(Werte[, c("Gefahrenvermeidung", "Sicherheit","Ordentlichkeit", "Unabhängigkeit")], check.keys=TRUE)

## 
## Reliability analysis   
## Call: alpha(x = Werte[, c("Gefahrenvermeidung", "Sicherheit", "Ordentlichkeit", 
##     "Unabhängigkeit")], check.keys = TRUE)
## 
##   raw_alpha std.alpha G6(smc) average_r S/N   ase mean sd median_r
##       0.64      0.63     0.6       0.3 1.7 0.018  5.4  1     0.29
## 
##     95% confidence boundaries 
##          lower alpha upper
## Feldt      0.6  0.64  0.67
## Duhachek   0.6  0.64  0.67
## 
##  Reliability if an item is dropped:
##                    raw_alpha std.alpha G6(smc) average_r  S/N alpha se  var.r
## Gefahrenvermeidung      0.51      0.51    0.42      0.26 1.05    0.026 0.0058
## Sicherheit              0.50      0.49    0.42      0.24 0.97    0.027 0.0203
## Ordentlichkeit          0.54      0.53    0.49      0.28 1.15    0.025 0.0543
## Unabhängigkeit          0.68      0.69    0.61      0.42 2.19    0.017 0.0110
##                    med.r
## Gefahrenvermeidung  0.25
## Sicherheit          0.25
## Ordentlichkeit      0.19
## Unabhängigkeit      0.38
## 
##  Item statistics 
##                       n raw.r std.r r.cor r.drop mean  sd
## Gefahrenvermeidung 1000  0.75  0.73  0.64   0.49  5.0 1.6
## Sicherheit         1000  0.75  0.75  0.65   0.52  5.7 1.4
## Ordentlichkeit     1000  0.73  0.72  0.55   0.45  5.2 1.6
## Unabhängigkeit     1000  0.52  0.56  0.29   0.23  5.6 1.3
## 
## Non missing response frequency for each item
##                       1    2    3    4    5    6    7 miss
## Gefahrenvermeidung 0.02 0.06 0.12 0.15 0.21 0.25 0.19    0
## Sicherheit         0.01 0.03 0.05 0.11 0.18 0.27 0.35    0
## Ordentlichkeit     0.02 0.05 0.10 0.14 0.19 0.25 0.25    0
## Unabhängigkeit     0.01 0.02 0.06 0.11 0.22 0.31 0.28    0

Bei dem Konstrukt Sicherheit können wir durch Elimination von Unabhängigkeit das Cronbachs Alpha von 0,64 auf einen fast akzeptablen Wert von 0,68 erhöhen.

Das Argument check.keys=TRUE gibt uns eine Warnung aus, sollte die Ladung eines oder mehrerer Items negativ sein. Dies ist hier nicht der Fall, somit müssen auch keine Items recodiert werden.