1.1 Gründe für die Notwendigkeit der Datenreduktion

• Im technischen Sinne der Dimensionsreduktion können wir statt Variablen-Sets die Faktor-/ Komponentenwerte verwenden (z. B. für Mittelwertvergleiche zwischen Experimental- und Kontrollgruppe, Regressionsanalyse und Clusteranalyse).
• Wir können Unsicherheit verringern. Wenn wir glauben, dass ein Konstrukt nicht eindeutig messbar ist, dann kann mit einem Variablen-Set die Unsicherheit reduziert werden.
• Wir können den Aufwand bei der Datenerfassung vereinfachen, indem wir uns auf Variablen konzentrieren, von denen bekannt ist, dass sie einen hohen Beitrag zum interessierenden Faktor/ Komponente leisten. Wenn wir feststellen, dass einige Variablen für einen Faktor nicht wichtig sind, können wir sie aus dem Datensatz eliminieren.

1.2 Benötigte Pakete

Pakete, die für diese Datenanalyse benötigt werden, müssen vorher einmalig in R installiert werden.

# install.packages("corrplot")
# install.packages("gplots")
# install.packages("nFactors")

6.1 Bestimmung der Anzahl der Hauptkomponenten

Betrachten wir in einem ersten Schritt die wichtigsten Komponenten für die Werte. Wir finden die Komponenten mit prcomp().

Werte.pc<- prcomp(Werte.sc)
summary(Werte.pc)

## Importance of components:
##                           PC1    PC2    PC3     PC4     PC5     PC6    PC7
## Standard deviation     1.6907 1.5422 1.3841 1.14283 1.07975 0.88552 0.8298
## Proportion of Variance 0.1906 0.1585 0.1277 0.08707 0.07772 0.05228 0.0459
## Cumulative Proportion  0.1906 0.3491 0.4768 0.56391 0.64163 0.69391 0.7398
##                            PC8     PC9   PC10    PC11    PC12    PC13    PC14
## Standard deviation     0.80784 0.78821 0.7599 0.74135 0.68836 0.64775 0.64487
## Proportion of Variance 0.04351 0.04142 0.0385 0.03664 0.03159 0.02797 0.02772
## Cumulative Proportion  0.78332 0.82474 0.8632 0.89988 0.93147 0.95944 0.98716
##                           PC15
## Standard deviation     0.43884
## Proportion of Variance 0.01284
## Cumulative Proportion  1.00000

# Berechnung der Gesamtvarianz
Gesamtvarianz <- sum(Werte.pc$sdev^2)

# Bei sum(Werte.pc$sdev^2) wird die Summe aller 15 quadrierten Standardabweichungen (Varianzen) berechnet.

# Varianzanteil der ersten Hauptkomponente
Werte.pc$sdev[1]^2/Gesamtvarianz

## [1] 0.1905689

6.2 Scree-Plot

Der Standard-Plot plot() für die PCA ist ein Scree-Plot, Dieser zeigt uns in Reihenfolge der Hauptkomponenten jeweils die durch diese Hauptkomponente erfasste Streuung (Varianz). Wir plotten ein Liniendiagramm mit dem Argument type = "l" (l für Linie):

plot(Werte.pc, type="l")

Wir sehen anhand des Scree-Plots, dass bei den Werte-Daten der Anteil der Streuung nach der fünften Komponente nicht mehr wesentlich abnimmt. Es soll die Stelle gefunden werden, ab der die Varianzen der Hauptkomponenten deutlich kleiner sind. Je kleiner die Varianzen, desto weniger Streuung erklärt diese Hauptkomponente.

6.3 Elbow-Kriterium

Beim Elbow-Kriterium wird eine Knickstelle gesucht, nach der zusätzliche Komponenten nur noch wenig Varianz beitragen. Die Zahl der davor liegenden Komponenten ist ein Vorschlag für die Auswahl. Bei mehreren Knicks ist nicht automatisch der rechteste maßgeblich; die Entscheidung kann uneindeutig sein. Im Werte-Beispiel untersuchen wir eine Lösung mit fünf Komponenten. Scree-Plot, Parallelanalyse und inhaltliche Interpretierbarkeit sollten gemeinsam berücksichtigt werden.

6.4 Eigenwert-Kriterium

Der Eigenwert ist eine Metrik für den Anteil der erklärten Varianz. Die Anzahl Eigenwerte können wir über den Befehl eigen() ausgeben.

eigen(cor(Werte))

## eigen() decomposition
## $values
##  [1] 2.8585328 2.3782591 1.9157861 1.3060498 1.1658554 0.7841482 0.6885614
##  [8] 0.6525990 0.6212712 0.5774799 0.5495986 0.4738398 0.4195816 0.4158557
## [15] 0.1925814
## 
## $vectors
##              [,1]        [,2]         [,3]        [,4]        [,5]        [,6]
##  [1,] -0.33604416 -0.25622090 -0.128161949 -0.25708630 -0.31686659 -0.08891916
##  [2,] -0.33938849 -0.28521782 -0.081849344 -0.15917643 -0.27168790  0.07516516
##  [3,] -0.26388043 -0.31660619  0.020871466 -0.35409613 -0.16300892  0.01525403
##  [4,] -0.08232717 -0.33393447  0.511129387  0.06869099  0.27375878 -0.08815771
##  [5,] -0.08708864 -0.34714315  0.474128588  0.07565331  0.34831269 -0.04338889
##  [6,] -0.05342944  0.30307543  0.218554329 -0.38300203  0.21851873  0.29935020
##  [7,] -0.23623640  0.21437522  0.256385690 -0.31711196 -0.08949205 -0.11693492
##  [8,] -0.15397729  0.32691967  0.171467677 -0.34482751  0.14055059  0.14106740
##  [9,] -0.27464246  0.33825802  0.234044155  0.19355770 -0.14567446 -0.26810114
## [10,] -0.30435792  0.21717193  0.166429441  0.32257765 -0.24460149 -0.43448121
## [11,] -0.27346924  0.23434490  0.116388405  0.27914986 -0.16754023  0.54633532
## [12,] -0.29540078 -0.17177961 -0.006053197  0.40251719 -0.00239680  0.49131083
## [13,] -0.31100983  0.05553932 -0.338064762 -0.08652082  0.35043217  0.02771788
## [14,] -0.27757710  0.14689404 -0.248735075  0.03424423  0.39595561 -0.16611769
## [15,] -0.31880702 -0.07337078 -0.274358131  0.12830750  0.37245140 -0.15648663
##              [,7]         [,8]        [,9]        [,10]       [,11]       [,12]
##  [1,]  0.01202132  0.041248709 -0.01408612  0.130206897  0.31009355 -0.02696768
##  [2,]  0.26627419  0.135852146 -0.08580310 -0.157042163  0.38217601 -0.24114988
##  [3,]  0.10078342  0.003367682  0.15291415  0.074930194 -0.73005040  0.30268343
##  [4,]  0.01520430  0.055026932 -0.07919406  0.108873884  0.07015185 -0.07370359
##  [5,]  0.05838507 -0.038565529 -0.06111274  0.096609791  0.02274680 -0.09446330
##  [6,]  0.46059789 -0.328175909  0.38723990 -0.195176261  0.19617221  0.12114616
##  [7,] -0.53964197 -0.422986131 -0.37907293 -0.148699391  0.10393977  0.19427884
##  [8,] -0.28547974  0.709911656  0.08261177 -0.024519209 -0.04440720 -0.17554504
##  [9,]  0.13054104  0.123139927  0.16569043 -0.004325198 -0.11465862 -0.16313432
## [10,]  0.11076199 -0.115161722  0.20479717 -0.084083249 -0.06376440 -0.03363296
## [11,]  0.10897837 -0.020664210 -0.24850940  0.584651315  0.01333556  0.17246152
## [12,] -0.25152458 -0.024186081  0.11560439 -0.599990338 -0.11045917 -0.02350423
## [13,] -0.11763325 -0.352104105  0.05618006  0.237563841 -0.20176120 -0.64134659
## [14,]  0.39099628  0.156832775 -0.58303462 -0.256953030 -0.10337042  0.21220308
## [15,] -0.24316239  0.081935458  0.41348810  0.198545304  0.29517385  0.48735507
##              [,13]        [,14]        [,15]
##  [1,]  0.676083103  0.239639453 -0.014012424
##  [2,] -0.556270220 -0.237090974 -0.026889620
##  [3,] -0.103662222 -0.052357923  0.016105582
##  [4,]  0.007483174  0.050894991  0.706143396
##  [5,]  0.050783912  0.009339351 -0.698648864
##  [6,]  0.074648018  0.069167377  0.045368717
##  [7,] -0.107839123 -0.117816660 -0.016220508
##  [8,] -0.064457279  0.220164114 -0.056024044
##  [9,]  0.283295448 -0.667112771  0.008995238
## [10,] -0.240797718  0.583661212 -0.038214621
## [11,] -0.061627837  0.051558150 -0.004438732
## [12,]  0.167934268  0.027612969  0.029341249
## [13,] -0.026203185  0.030445815  0.061558203
## [14,]  0.101912203  0.063464930  0.019925600
## [15,] -0.132005347 -0.140461650 -0.002008972

Bei einer PCA auf der Korrelationsmatrix gibt der Eigenwert die Varianz der jeweiligen unrotierten Komponente an. Das Kaiser-Kriterium behält Komponenten mit Eigenwerten größer als 1, weil sie dann mehr Varianz als eine einzelne standardisierte Variable erfassen. Hier trifft dies auf fünf Komponenten zu. Das Kriterium ist eine Heuristik und kann zu viele oder zu wenige Komponenten vorschlagen; die Zahl der EFA-Faktoren sollte nicht allein daraus übernommen werden.

Dies kann auch grafisch mit dem VSS.Scree geplotet werden.

library(psych)
VSS.scree(Werte)

6.5 Biplot

Eine gute Möglichkeit die Ergebnisse der PCA zu analysieren, besteht darin, die ersten Komponenten zuzuordnen, die es uns ermöglichen, die Daten in einem niedrigdimensionalen Raum zu visualisieren. Eine gemeinsame Visualisierung ist ein Biplot. Dies ist ein zweidimensionales Diagramm von Datenpunkten in Bezug auf die ersten beiden Hauptkomponenten, die mit einer Projektion der Variablen auf die Komponenten überlagert wird.

Dazu verwenden wir biplot():

biplot(Werte.pc)

Die Variablen-Gruppierungen sind als rote Ladungspfeile sichtbar. Zusätzlich erhalten wir einen Einblick in die Bewertungscluster (als dichte Bereiche von Beobachtungspunkten). Der Biplot ist hier durch die große Anzahl an Beobachtung recht unübersichtlich.

Mit principal() aus dem Paket psych lässt sich eine PCA-Lösung mit fünf Komponenten und anschließender Varimax-Rotation berechnen:

Werte.pca <- principal(Werte, nfactors=5)
print(Werte.pca, cut=0.4, sort=TRUE, digits=2)

## Principal Components Analysis
## Call: principal(r = Werte, nfactors = 5)
## Standardized loadings (pattern matrix) based upon correlation matrix
##                    item   RC1   RC2   RC3   RC5   RC4   h2   u2 com
## Spaß                  1  0.83                         0.71 0.29 1.1
## Freude                2  0.78                         0.65 0.35 1.2
## Aufregung             3  0.76                         0.63 0.37 1.2
## Sicherheit           10        0.79                   0.64 0.36 1.0
## Gefahrenvermeidung    9        0.75                   0.67 0.33 1.3
## Ordentlichkeit       11        0.70                   0.50 0.50 1.1
## Unabhängigkeit       12        0.42                   0.53 0.47 4.2
## Entscheidung          5              0.94             0.89 0.11 1.0
## Führung               4              0.92             0.88 0.12 1.1
## Zuhören              13                    0.77       0.66 0.34 1.2
## Interesse            15                    0.76       0.63 0.37 1.2
## Umweltbewusstsein    14                    0.73       0.57 0.43 1.2
## Religiösität          6                          0.74 0.57 0.43 1.1
## Demut                 8                          0.72 0.56 0.44 1.2
## Respekt               7                          0.62 0.54 0.46 1.8
## 
##                        RC1  RC2  RC3  RC5  RC4
## SS loadings           2.08 2.02 1.89 1.87 1.76
## Proportion Var        0.14 0.13 0.13 0.12 0.12
## Cumulative Var        0.14 0.27 0.40 0.52 0.64
## Proportion Explained  0.22 0.21 0.20 0.19 0.18
## Cumulative Proportion 0.22 0.43 0.62 0.82 1.00
## 
## Mean item complexity =  1.4
## Test of the hypothesis that 5 components are sufficient.
## 
## The root mean square of the residuals (RMSR) is  0.05 
##  with the empirical chi square  518.83  with prob <  1.4e-84 
## 
## Fit based upon off diagonal values = 0.94

6.6 Interpretation der Ergebnisse der PCA

• Das Ergebnis sieht sehr gut aus. Es laden immer mehrere Items (mindestens 2) hoch (> 0,5) auf einer Komponente (die mit RC1 bis RC5 bezeichnet werden, RC steht für Rotated Component). Innerhalb einer PCA kann die Interpretierbarkeit über eine Rotation erhöht werden. Wenn die Rotation nicht ausgeschlossen wird (mit dem Argument rotate="none"), dann ist die Voreinstellung eine Varimax-Rotation.
  
• In dieser Lösung zeigen die angezeigten Ladungen keine ausgeprägten Mehrfachladungen. Bei der orthogonalen Rotation lassen sich Ladungen als Korrelationen zwischen Items und rotierten Komponenten interpretieren.
• SS loadings enthält die Summen quadrierter Ladungen der rotierten Komponenten. Diese sind nicht einfach die ursprünglichen PCA-Eigenwerte: Durch die Rotation wird die erklärte Varianz zwischen den Komponenten umverteilt. Proportion Var zeigt die Anteile an der Gesamtvarianz, Cumulative Var ihre kumulierte Summe. Gemeinsam erklären die fünf Komponenten rund 64 % der Gesamtvarianz.
• Das Item Unabhängigkeit erreicht auf keiner Komponente eine Ladung über 0,5; auf RC2 beträgt sie rund 0,42.

Zur inhaltlichen Interpretation betrachten wir die Items und die tatsächlich ausgegebenen Ladungen. In dieser Lösung lässt sich RC1 als Genuss, RC2 als Sicherheit, RC3 als Anerkennung, RC5 als Bewusstsein und RC4 als Konformismus bezeichnen. Dies sind Interpretationsvorschläge; die Bezeichnungen richten sich nach den Items, nicht nach der numerischen Reihenfolge der Komponenten.

Mit der Funktion fa.diagram kann das Ergebnis auch grafisch dargestellt werden.

diagram_par <- par(cex=0.7)
fa.diagram(Werte.pca, rsize=0.6)

par(diagram_par)

7.1 Finden einer EFA Lösung

Zunächst muss eine plausible Faktorzahl bestimmt werden. Für den Methodenvergleich schätzen wir hier fünf Faktoren. Die vorausgehenden PCA-Kriterien liefern Orientierung, ersetzen aber keine gesonderte Prüfung des Faktorenmodells. Eine Parallelanalyse für gemeinsame Faktoren, Modellpassung und inhaltliche Interpretierbarkeit sind zusätzliche Entscheidungshilfen.

Durch das Paket nFactors bekommen wir eine formalisierte Berechnung der Scree-Plot Lösung mit dem Befehl nScree()

library(nFactors)
nScree(Werte)

## $Components
##   noc naf nparallel nkaiser
## 1   5   3         5       5
## 
## $Analysis
##    Eigenvalues       Prop      Cumu Par.Analysis  Pred.eig     OC   Acc.factor
## 1    2.8585328 0.19056885 0.1905689            1 2.5463881                  NA
## 2    2.3782591 0.15855061 0.3491195            1 2.0593865         0.017800683
## 3    1.9157861 0.12771907 0.4768385            1 1.4072742        -0.147263321
## 4    1.3060498 0.08706999 0.5639085            1 1.2631828         0.469541911
## 5    1.1658554 0.07772370 0.6416322            1 0.8498778 (< OC) -0.241512883
## 6    0.7841482 0.05227654 0.6939088            1 0.7505589         0.286120511
## 7    0.6885614 0.04590409 0.7398129            1 0.7183158         0.059624390
## 8    0.6525990 0.04350660 0.7833195            1 0.6927195         0.004634511
## 9    0.6212712 0.04141808 0.8247375            1 0.6544596        -0.012463392
## 10   0.5774799 0.03849866 0.8632362            1 0.6388530         0.015909984
## 11   0.5495986 0.03663991 0.8998761            1 0.5675926        -0.047877570
## 12   0.4738398 0.03158932 0.9314654            1 0.5330816         0.021500597
## 13   0.4195816 0.02797210 0.9594375            1 0.6391300         0.050532401
## 14   0.4158557 0.02772371 0.9871612            1        NA        -0.219548485
## 15   0.1925814 0.01283876 1.0000000            1        NA                  NA
##        AF
## 1        
## 2        
## 3  (< AF)
## 4        
## 5        
## 6        
## 7        
## 8        
## 9        
## 10       
## 11       
## 12       
## 13       
## 14       
## 15       
## 
## $Model
## [1] "components"
## 
## attr(,"class")
## [1] "nScree"

nScree gibt vier methodische Schätzungen für die Anzahl an Faktoren durch den Scree-Plot aus. Wir sehen, dass drei von vier Methoden fünf Faktoren vorschlagen.

7.2 Schätzung der EFA

Eine EFA wird geschätzt mit dem Befehl factanal(x,factors=k), wobei k die Anzahl Faktoren angibt.

Werte.fa<-factanal(Werte, factors=5)
Werte.fa

## 
## Call:
## factanal(x = Werte, factors = 5)
## 
## Uniquenesses:
##               Spaß             Freude          Aufregung            Führung 
##              0.401              0.486              0.584              0.243 
##       Entscheidung       Religiösität            Respekt              Demut 
##              0.139              0.660              0.662              0.626 
## Gefahrenvermeidung         Sicherheit     Ordentlichkeit     Unabhängigkeit 
##              0.395              0.481              0.729              0.713 
##            Zuhören  Umweltbewusstsein          Interesse 
##              0.463              0.666              0.561 
## 
## Loadings:
##                    Factor1 Factor2 Factor3 Factor4 Factor5
## Spaß                        0.756           0.147         
## Freude                      0.686           0.149         
## Aufregung           0.172   0.611                         
## Führung             0.849   0.131          -0.133         
## Entscheidung        0.921                                 
## Religiösität               -0.123                   0.568 
## Respekt                     0.154   0.266           0.492 
## Demut                               0.168           0.580 
## Gefahrenvermeidung                  0.715           0.298 
## Sicherheit                          0.710                 
## Ordentlichkeit                      0.483   0.132   0.137 
## Unabhängigkeit      0.188   0.230   0.268   0.265  -0.240 
## Zuhören            -0.114   0.158           0.698   0.106 
## Umweltbewusstsein                   0.149   0.539   0.111 
## Interesse                   0.181           0.618  -0.109 
## 
##                Factor1 Factor2 Factor3 Factor4 Factor5
## SS loadings      1.668   1.600   1.473   1.332   1.116
## Proportion Var   0.111   0.107   0.098   0.089   0.074
## Cumulative Var   0.111   0.218   0.316   0.405   0.479
## 
## Test of the hypothesis that 5 factors are sufficient.
## The chi square statistic is 93.28 on 40 degrees of freedom.
## The p-value is 3.83e-06

Eine übersichtlichere Ausgabe bekommen wir mit dem print Befehl, in dem wir zusätzlich noch die Dezimalstellen kürzen mit digits=2, alle Ladungen mit einem Betrag kleiner als 0,4 ausblenden mit cutoff=.4 und die Ladungen mit sort=TRUE so sortieren, dass die Ladungen, die auf einen Faktor laden, untereinander stehen.

print(Werte.fa, digits=2, cutoff=.4, sort=TRUE)

## 
## Call:
## factanal(x = Werte, factors = 5)
## 
## Uniquenesses:
##               Spaß             Freude          Aufregung            Führung 
##               0.40               0.49               0.58               0.24 
##       Entscheidung       Religiösität            Respekt              Demut 
##               0.14               0.66               0.66               0.63 
## Gefahrenvermeidung         Sicherheit     Ordentlichkeit     Unabhängigkeit 
##               0.39               0.48               0.73               0.71 
##            Zuhören  Umweltbewusstsein          Interesse 
##               0.46               0.67               0.56 
## 
## Loadings:
##                    Factor1 Factor2 Factor3 Factor4 Factor5
## Führung             0.85                                  
## Entscheidung        0.92                                  
## Spaß                        0.76                          
## Freude                      0.69                          
## Aufregung                   0.61                          
## Gefahrenvermeidung                  0.72                  
## Sicherheit                          0.71                  
## Zuhören                                     0.70          
## Umweltbewusstsein                           0.54          
## Interesse                                   0.62          
## Religiösität                                        0.57  
## Demut                                               0.58  
## Respekt                                             0.49  
## Ordentlichkeit                      0.48                  
## Unabhängigkeit                                            
## 
##                Factor1 Factor2 Factor3 Factor4 Factor5
## SS loadings       1.67    1.60    1.47    1.33    1.12
## Proportion Var    0.11    0.11    0.10    0.09    0.07
## Cumulative Var    0.11    0.22    0.32    0.40    0.48
## 
## Test of the hypothesis that 5 factors are sufficient.
## The chi square statistic is 93.28 on 40 degrees of freedom.
## The p-value is 3.83e-06

Standardmäßig wird bei factanal() eine Varimax-Rotation durchgeführt (das Koordinatensystem der Faktoren wird so rotiert, das eine optimale Zuordnung zu den Variablen erfolgt). Bei Varimax gibt es keine Korrelationen zwischen den Faktoren. Sollen Korrelationen zwischen den Faktoren zugelassen werden, empfiehlt sich die Oblimin-Rotation mit dem Argument rotation="oblimin" aus dem Paket GPArotation.

7.3 Heatmap mit Ladungen

In der obigen Ausgabe werden die Item-to-Faktor-Ladungen angezeigt. Im zurückgegebenen Objekt Werte.fa sind diese als $loadings vorhanden. Wir können die Item-Faktor-Beziehungen mit einer Heatmap von $loadings visualisieren:

library (gplots)

## 
## Attaching package: 'gplots'

## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     lowess

heatmap.2(Werte.fa$loadings)

Das Ergebnis aus der Heatmap zeigt eine deutliche Trennung der Items in 5 Faktoren, die interpretierbar sind als Anerkennung, Genuss, Sicherheit, Bewusstsein und Konformismus.

7.4 Berechnung der Faktor-Scores

Zusätzlich zur Faktorstruktur können für jede Beobachtung Faktorwerte geschätzt werden. Im folgenden Aufruf schätzt factanal() das Faktorenmodell mittels Maximum Likelihood. scores="Bartlett" wählt anschließend die Bartlett-Methode für die Faktorwertschätzung, nicht für die Faktorenextraktion. Die geschätzten Werte sind Näherungen für die unbeobachteten Faktoren. Details erläutert die R-Dokumentation zu factanal.

Werte.ob <- factanal(Werte, factors=5, scores="Bartlett")
Werte.scores <- data.frame(Werte.ob$scores)
names(Werte.scores) <- c("Anerkennung", "Genuss", "Sicherheit", "Bewusstsein", "Konformismus") 
head(Werte.scores)

##   Anerkennung     Genuss Sicherheit Bewusstsein Konformismus
## 1   1.3800613  0.9847458  0.5632629   0.1731918   -0.1062450
## 2  -1.4035495 -0.7210411  1.5965857   1.1664029    0.6950300
## 3   1.5320158 -0.6574901  1.6721041  -2.0027410    0.2390436
## 4  -0.5790217  2.3443732 -1.0564093  -1.1195018   -0.1176405
## 5   0.2344081 -1.6524010  1.1888042  -1.7013443    0.4374048
## 6  -0.1303264  0.1110535 -1.0532476   0.7911486   -1.0034994

Wir haben nun anstatt der 15 Variablen 5 Faktoren mit Scores. Die Zahl der Dimensionen wurde auf ein Drittel des Ausgangswerts reduziert, also um zwei Drittel.

7.5 Interne Konsistenz der Skalen

Das einfachste Maß für die interne Konsistenz ist die Split-Half-Reliabilität. Die Items werden in zwei Hälften unterteilt und die resultierenden Scores sollten in ihren Kenngrößen ähnlich sein. Hohe Korrelationen zwischen den Hälften deuten auf eine hohe interne Konsistenz hin. Das Problem ist, dass die Ergebnisse davon abhängen, wie die Items aufgeteilt werden. Ein üblicher Ansatz zur Lösung dieses Problems besteht darin, den Koeffizienten Alpha (Cronbachs Alpha) zu verwenden.

Cronbachs Alpha wird aus Itemvarianzen und der Varianz des Summenscores berechnet und beschreibt die interne Konsistenz eines Itemsets. Der Wert hängt unter anderem von Itemzahl und Zusammenhängen zwischen den Items ab. Ein geschätzter Wert kann bei problematischen Itemzusammenhängen auch negativ sein; die pauschale Beschränkung auf 0 bis 1 ist deshalb unvollständig. Alpha ist weder ein Nachweis von Eindimensionalität noch von Validität. Als Reliabilitätsschätzung sind zudem die Modellannahmen zu beachten.

Werte um 0,7 oder 0,8 werden häufig als Orientierung genannt. Ob eine Messung ausreichend zuverlässig ist, hängt jedoch vom Verwendungszweck, der Skalenstruktur und der Unsicherheit der Schätzung ab. Eine kurze explorative Skala und eine Messung für Entscheidungen über einzelne Personen stellen unterschiedliche Anforderungen. Sehr hohe Werte können auch auf stark redundante Items hinweisen.

Wir bewerten die interne Konsistenz beispielhaft für das Konstrukt Sicherheit und nehmen zur Demonstration das Item Unabhängigkeit mit in die Analyse auf.

alpha_mit_unabhaengigkeit <- alpha(Werte[, c("Gefahrenvermeidung", "Sicherheit", "Ordentlichkeit", "Unabhängigkeit")], check.keys=FALSE)
alpha_mit_unabhaengigkeit

## 
## Reliability analysis   
## Call: alpha(x = Werte[, c("Gefahrenvermeidung", "Sicherheit", "Ordentlichkeit", 
##     "Unabhängigkeit")], check.keys = FALSE)
## 
##   raw_alpha std.alpha G6(smc) average_r S/N   ase mean sd median_r
##       0.64      0.63     0.6       0.3 1.7 0.018  5.4  1     0.29
## 
##     95% confidence boundaries 
##          lower alpha upper
## Feldt      0.6  0.64  0.67
## Duhachek   0.6  0.64  0.67
## 
##  Reliability if an item is dropped:
##                    raw_alpha std.alpha G6(smc) average_r  S/N alpha se  var.r
## Gefahrenvermeidung      0.51      0.51    0.42      0.26 1.05    0.026 0.0058
## Sicherheit              0.50      0.49    0.42      0.24 0.97    0.027 0.0203
## Ordentlichkeit          0.54      0.53    0.49      0.28 1.15    0.025 0.0543
## Unabhängigkeit          0.68      0.69    0.61      0.42 2.19    0.017 0.0110
##                    med.r
## Gefahrenvermeidung  0.25
## Sicherheit          0.25
## Ordentlichkeit      0.19
## Unabhängigkeit      0.38
## 
##  Item statistics 
##                       n raw.r std.r r.cor r.drop mean  sd
## Gefahrenvermeidung 1000  0.75  0.73  0.64   0.49  5.0 1.6
## Sicherheit         1000  0.75  0.75  0.65   0.52  5.7 1.4
## Ordentlichkeit     1000  0.73  0.72  0.55   0.45  5.2 1.6
## Unabhängigkeit     1000  0.52  0.56  0.29   0.23  5.6 1.3
## 
## Non missing response frequency for each item
##                       1    2    3    4    5    6    7 miss
## Gefahrenvermeidung 0.02 0.06 0.12 0.15 0.21 0.25 0.19    0
## Sicherheit         0.01 0.03 0.05 0.11 0.18 0.27 0.35    0
## Ordentlichkeit     0.02 0.05 0.10 0.14 0.19 0.25 0.25    0
## Unabhängigkeit     0.01 0.02 0.06 0.11 0.22 0.31 0.28    0

alpha_sicherheit <- alpha(Werte[, c("Gefahrenvermeidung", "Sicherheit", "Ordentlichkeit")], check.keys=FALSE)
alpha_sicherheit$total

##  raw_alpha std.alpha   G6(smc) average_r      S/N        ase     mean       sd
##  0.6841269 0.6866366 0.6066728 0.4220971 2.191183 0.01736401 5.281667 1.191439
##   median_r
##  0.3848531

Im Beispiel beträgt das rohe Alpha mit Unabhängigkeit 0.64 und ohne dieses Item 0.68. Der Anstieg allein rechtfertigt keinen Itemausschluss. Entscheidend ist, ob das Item theoretisch zum Konstrukt gehört und ob die Änderung die inhaltliche Abdeckung und Validität verbessert. Eine veränderte Skala sollte an weiteren Daten geprüft werden.

check.keys=TRUE würde Items mit negativer Ladung auf der ersten Hauptkomponente automatisch umpolen und eine Warnung ausgeben. Hier verwenden wir check.keys=FALSE, um die inhaltlich vorgegebene Kodierung beizubehalten. Ob ein Item umgepolt werden muss, ist anhand seiner Formulierung und des Kodierplans zu entscheiden. Das Vorzeichen einer Komponentenladung allein genügt dafür nicht. Siehe die Dokumentation zu alpha.